| Tarski y la invariabilidad de los dominios |
La mayoría de los involucrados en el debate sobre la noción de consecuencia lógica tarskiana, entre los cuales se destacan Etchemendy, Bays, Gómez-Torrente, parecen estar de acuerdo en que esta noción se define a partir de la reinterpretación de las constantes no lógicas del lenguaje. Esto parece ser terreno común. El punto de debate es si el dominio a partir del cual se construyen las interpretaciones es fijo o variable. Sin embargo, lo que de hecho hace Tarski es algo diferente.
En ningún lugar Tarski habla de reinterpretar las constantes no lógicas del lenguaje particular para el cual se define la noción de consecuencia. Lo que hace es asociarle a cada formula F que contenga constantes no lógicas, una formula F' que carezca de ellas (esto es lo que hacen las funciones oracionales). Y después opera sobre estas fórmulas tipo F' que carecen de constantes no lógicas. Lo que importa, en el texto de Tarski, es cómo se comportan las fórmulas que carecen de constantes no lógicas (fórmulas compuestas por variables y constantes lógicas).
Sin duda esto es matemáticamente equivalente al procedimiento sobre el que discuten Etchemendy, Bays y Gómez-Torrente, mediante al cual se trata de reinterpretar las constantes no lógicas. Pero no estoy seguro que sea lo mismo desde el punto de vista filosófico. En la versión de Tarski, las constantes no cambian de interpretación de modelo a modelo: las constantes lógicas conservan su interpretación y la interpretación de las constantes no lógicas se vuelve irrelevante al operar sobre fórmulas que carecen de ellas. Lo que Tarski hace es (i) vaciar las fórmulas de constantes no lógicas al reemplazarlas por variables (y de este modo obtiene la "forma" del enunciado original) y (ii) examinar el comportamiento de estas últimas en los distintos modelos. En todo el proceso, la interpretación de las constantes no lógicas no cambia.
Si esta observación es correcta, creo que puede fundar un argumento en favor del dominio fijo. La idea es esta: si se admite que las constantes no lógicas deben cambiar de modelo a modelo, entonces parece razonable admitir que pueda cambiar el dominio del modelo. Pero si las constantes no lógicas no cambian de modelo a modelo, entonces parece extraño aceptar que el dominio pueda variar. Para dar un ejemplo: si la constante individual c tiene la misma significación en el modelo m1 y en el modelo m2, ¿cómo se entiende que la variable x, que reemplaza a c en la función oracional, pueda tomar sus valores de un dominio en el que el que c no existe? Parece que los modelos solo pueden tomar sus objetos del dominio del que c tomo su significado.
Comentarios (2).
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Comentario: 1. El núcleo de tu razonamiento parece estar en el último párrafo. Como no termino de entenderlo correctamente pido una aclaración. Pero para no parecer vago, voy al archiconocido ejemplo de la cardinalidad del dominio:
Existe un x y existe un y tal que x no es igual a y.
¿Cómo funciona tu observación en enunciados como éste en los cuales la variación del dominio parece relevante?
¿O tu observación presupone que la cardinalidad de los dominios siempre es infinita pues Tarski acepta el axioma de infinitud?
Saludos,
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Comentario: 2. Dentro de la teoría de modelos, hay distintas maneras de entender la idea de estructura. Un aspecto importante que llama la atención es si en las estructuras que satisfacen las fórmulas de una teoría aparece, como uno de los componentes de la misma, un dominio del cual extraer los valores semánticos. Usualmente, la no aparición de un dominio, se toma como un indicador de que hay un único dominio implícito, mientras que la aparición explícita de un dominio deja abierta la posibilidad de variabilidad de dominios. Javier encuentra que aunque técnicamente los resultados de aplicar cualquiera de las dos concepciones sean equivalentes respecto del conjunto de fórmulas universalmente válidas (al menos, para una teoría de primer orden), carácterizar de una u otra manera podría tener distintas consecuencias filosóficas. Con el propósito de sustentar el punto, argumenta a favor de la caracterización de dominio fijo que si se admite que las constantes no lógicas tienen que cambiar de modelo a modelo, entonces parece razonable admitir que pueda cambiar el dominio del modelo. Pero, en cambio, si las constantes no lógicas no cambian de modelo a modelo, entonces parece extraño aceptar que el dominio pueda variar. La variabilidad o no de los dominios dentro de las estructuras que satisfacen las fórmulas de una teoría de primer orden sería una consecuencia de cuál sea nuestra posición filosófica respecto de las constantes lógicas.
Quiero agregar otro aspecto que muestra que el optar por una u otra caracterización tiene importancia desde un punto de vista filosófico. Sea S una teoría de primer orden con identidad en la que puedan expresarse los axiomas de Peano y la cual es adecuada para probar los resultados de la teoría de números. Por el teorema diagonal ninguna fórmula de S es verdadera de exactamente los números de Gödel de las fórmulas no verdaderas de sus propios números de Gödel. Sin embargo, hay tal fórmula de S, sobre la suposición de que el conjunto de números de Gödel de las fórmulas de S que son verdaderas en la interpretación standard es aritmético. Si el conjunto de fórmulas de S no verdaderas de sus propios números de Gödel existe, no es posible expresar como parte de S el predicado veritativo de S. No obtante, eso es de hecho expresable en el metalenguaje. Por eso, la capacidad expresiva de S es limitada. Este resultado es el teorema de Tarski. Ahora bien, la suposición de que la semántica de S se realiza completamente en términos conjuntistas, tiene consecuencias filosóficas para la tesis de la absoluta generalidad (la tesis según la cual es posible en un lenguaje hablar de todos los objetos). El teorema de Tarski implicaría que hay un objeto (la interpretación conjuntista del predicado veritativo) de la que no se puede hablar en S, pero del que se puede hablar desde otro lenguaje con un poder expresivo mayor. Por eso, ningún cuantificador de S podría hablar de todos los objetos.
Nótese que que el razonamiento anterior a partir del Teorema de Tarski, usa dos premisas: (a) que la interpretación de los predicados son conjuntos y (b) que los conjuntos son objetos. El abandono de cualquiera de ambas es completamente independiente del resultado de Tarski. Esto es, del Teorema de Tarski no se sigue de manera directa alguna limitación a la tesis de la absoluta generalidad. En particular, sin negar lo que muestra el teorema, se podría sostener o bien (i) una interpretación plural (del tipo de la de Boolos-Rayo) de los predicados (y en particular, del predicado veritativo), o (ii) una interpretación como un preceso de traducción a otro lenguaje (quizás el lenguaje natural), o (iii) que el predicado veritativo es un predicado vago cuya interpretación no puede darse a través de un conjunto, o (iv) que el predicado veritativo tiene una interpretación extensible indefinidamente, o (v) que la extensión del predicado veritativo no es clásica (a lo kripke o a lo Gupta con revisiones). En todos estos casos, la posibilidad de que se puedan presentar las ideas de Tarski tomando a las estructuras sin que aparezcan explicitamente los dominios conjuntistas es condición para que el teorema de Tarski no implique alguna restricción respecto de los dominios de las estructuras. La utilización de la concepción de dominio fijo técnicamente permite que no aparezca un objeto al dar una definición de verdad tarskiana en S. El que no exista una interpretación dentro de S del predicado veritativo de S no limita el poder expresivo de los cuantificadores de S. Claro que si se insiste en que toda caracterización del predicado veritativo debe estar formulada completamente en terminus de teoría de conjuntos, entonces es una consecuencia directa del teorema de Tarski sería que en ningún lenguaje podríamos hablar de todo, ya que habría entidades conjuntistas (las que usamos para interpretar las expresiones semánticas de S), de las que no podríamos hablar.
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