La paradoja de Yablo es una serie de oraciones, cada una de las cuáles afirma que cada oración que sigue a ella es falsa. La primera oración podría ser la siguiente:

(S1) para todo n igual o mayor a 2, ‘Sn’ es una oración falsa.

La segunda oración será

(S2) para todo n igual o mayor a 3, ‘Sn’ es una oración falsa.

Y así sucesivamente. Claro que la paradoja no tendrá ningún correlato del ‘Y así sucesivamente’, sino que será la lista infinita de oraciones de ese estilo. Ninguna de esas oraciones hace referencia a sí misma, y no hay otro tipo de circularidad involucrada en su conjunto. Para probar la paradojicidad contenida en esta serie infinita de oraciones, hay, según Priest, dos formas de hacerlo. La primera hace gracia de la idea de verdad, echa mano a la de satisfacción, e involucra circularidad. La segunda no involucra circularidad, pero sí apela a la regla omega, lo que torna a esta paradoja anómalo dentro de la colección de paradojas semánticas, pues apela a un principio matemático al que no apela la prueba de la paradojicidad (ni la formulación) del resto de las paradojas semánticas. Podamos o no nosotros, seres finitos, probar la susomentada paradojicidad de esta paradoja, o aún referirnos a ella sin apelar al modo circular propuesto por Priest para hablar acerca de ella, notemos que un ser con capacidades cognitivas infinitas podría:

(a)    Entrar en contacto directo con la paradoja de Yablo, captando directamente, en un ‘insight’, la serie infinita de las oraciones que la constituyen.

(b)   Hacer uso de la regla omega, al haber realizado un número infinito de pruebas de paradojicidad, una para cada oración de la serie.

La regla omega no parece ser ni una verdad lógica ni un esquema todas cuyas instancias sean lógicamente válidas. No obstante, parece un principio de razonamiento altamente intuitivo (si algo es verdadero para este elemento, y para ese otro, y para aquél de más allá, y para…, entonces es verdadero para todos estos elementos). Si la paradojicidad de un conjunto de afirmaciones incluye el uso de la regla omega de un modo en algún sentido ‘esencial’, entonces podría argumentarse que esa no es una paradoja ‘puramente lógica’ o algo por el estilo. Sin embargo, para afirmar que el razonamiento es ilegítimo hay que hacer algo más: hay que, al menos, poner en duda la legitimidad de la utilización de la regla omega.

Por otra parte, puede concederse que la paradojicidad o la demostración de paradojicidad de una colección de oraciones no es independiente del sistema expresivo empleado. (Es decir, puede concederse que la paradojicidad reside de modo primario en las oraciones –entidades que suponen de modo ineludible algún ‘sistema expresivo’-, y solo de modo derivado en las proposiciones, expresables o no, expresadas o no por oraciones.) De todos modos, creo haber indicado en mi comentario anterior un modo de expresar ‘la paradoja de Yablo’ -o el modo en que la paradoja de Yablo se expresa- que no es circular, y que puede ser directamente captado por alguna entidad con capacidades cognitivas infinitas. Si esto fuera así, tendríamos una serie de oraciones cuyo carácter paradójico no es independiente de los mecanismos expresivos empleados, ni deja de ser ‘relativo al sistema en el que uno aplica la expresión’ (en palabras de Diego), pero que no supone circularidad y que puede ser captado directamente, sin mediar descripción alguna que la genere, por un eventual individuo con capacidades cognitivas infinitas.

Una duda.

Más allá de la discusión respecto de los seres con capacidades infinitas -que me supera bastante- hay un punto que necesitaría que alguien me explicara. Aparentemente, tenemos una manera no circular de describir la paradoja de Yablo, y es mediante el lenguaje natural. La circularidad aparece al formalizarla, con lo cual parecería ser una peculiaridad de ciertos lenguajes, pero no de todos. De hecho, si nuestras formalizaciones de la paradoja son circulares pero la versión intuitiva no lo es, quizás estemos formalizando otra paradoja. 

 Priest intenta demostrar que la misma exposición de Yablo de 1993, que parece intuitiva tiene errores. Hay una paradoja, efectivamente, pero la forma en que Yablo la demostró (que es la más coloquial posible, creo yo) está mal, porque hace uso de un esquema T incorrecto. Dice Paula que "aparentemente, tenemos una manera no circular de describir la paradoja de Yablo, y es mediante el lenguaje natural". Si seguimos a Priest o a Beall, eso es una mera apariencia. Lo que sucede con la descripción más intuitiva de la paradoja de Yablo (me refiero a la de 1993) es que el mismo Yablo hace uso de una expresión como "y así sucesivamente...". Es decir, tenemos una secuencia1 que dice que las secuencias siguientes son falsas, una secuencia2 que dice que las siguientes son falsas, y así sucesivamente. Eso les llama la atención a algunos, que observan que ese recurso tramposo de Yablo nos hace pensar que somos capaces de captar esa secuencia infinita sin fórmula recursiva alguna, cuando en verdad no somos capaces de eso. La Paradoja de Yablo empieza a ser intuitiva cuando uno entiende la secuencia a partir de una fórmula como  “(Yn) Para todo k>n, Yk es no verdadera", fórmula que el mismo Sorensen, y más detalladamente Priest, admiten como circular.

Con respecto a lo que dice Federico, no concuerdo en que la regla omega sea "altamente intuitiva". Creo que es un procedimiento que no hacemos y que seguramente jamás haremos, porque no tenemos "capacidades cognitivas infinitas". Por otro lado, para seguir con la línea de los defensores de la regla omega, uno debe hacer la suposición de que exista un ser semejante al divino, y que éste entienda la secuencia como nosotros queremos que lo haga (es decir, en palabras de Federico, "sin mediar descripción alguna que la genere"). ¿No es este un costo demasiado alto e inseguro para hacer funcionar una paradoja que, haciendo uso de circularidad, funcionaría perfectamente?

Acuerdo con Paula en que, generalmente, si algo parece poder ser expresado en el lenguaje natural, no necesitamos un modo formal complementario o suplementario para decir lo ya dicho (en el lenguaje natural). De modo análogo, mayormente es el caso que si parecemos comprender una idea por medio del lenguaje natural, no necesitamos apoyarnos en un bastón formal para de hecho comprenderla. De todas maneras, si no parece haber un modo formal no problemático de expresar lo que parece ser expresado en el lenguaje natural, eso constituye un fuerte indicio de que, como señala Diego, esa que supuestamente estaba expresado en el lenguaje natural “es una mera apariencia”, en el sentido de que una vez que pretendemos precisar (por ejemplo, por medio de algún aparato formal) lo presuntamente expresado, no logramos de hecho hacerlo.

Tengo algunas objeciones, en particular contra lo que dice Diego.

1) La secuencia de Yablo puede expresarse en primer orden con predicado veritativo de manera no circular. Para que resulte paradójica tal y como está expresada (sin circularidad) hay que tener la regla de inferencia omega. Los sentimientos escépticos contra esta regla están por completo infundados ya que: i) es de carácter sintáctico y, por ende, la intuición y el ojo mental no juegan ningún papel (mucho menos eso de si somos o no seres finitos); ii) tiene modelos, por lo que sabemos que no es contradictoria (la aritmética que aprendemos en el colegio es un modelo). Es claro que no necesitamos tener capacidades infinitas para aplicar un principio de inferencia sintáctico; de hecho todos los matemáticos la usan constantemente. El modo de uso no es probar para cada elemento de un conjunto infinito numerable que vale una propiedad uno por uno sino que hay otras formas de hacerlo. Las más usuales en aritmética son: la inducción matemática (sin la regla omega no se podría decir que todos los números naturales tienen una propiedad), las demostraciones por el absurdo y las usuales, usando el modus ponens.

2) El carácter paradójico de una oración o de una pluraridad de oraciones es relativo a los principios que se acepten como válidos de antemano. La regla omega no es una verdad lógica sino una regla de inferencia de la lógica de segundo orgen.

3)  Creo que los lenguajes formales fueron creados inicialmente para aclarar y explicitar los supuestos que usamos al hablar en el lenguaje natural. Si se cumplió el objetivo inicial, la formalización es más adecuada que la expresión en el lenguaje natural. Yo creo que es así y que las pruebas metateóricas de Ketland nos muestran que para que la secuencia sea paradójica tal y como la formula Yablo, es preciso suponer la regla omega. De otro modo (sin importar en qué lenguaje esté formulada), la secuencia no es contradictoria.

Lavinia defiende la regla omega como principio de inferencia sintáctico. Dice que "es claro que no necesitamos tener capacidades infinitas para aplicar un principio de inferencia sintáctico". Pareciera, sin embargo, que cualquier modo de uso que no sea lo que suele describirse como regla omega ("probar para cada elemento de un conjunto infinito numerable que vale una propiedad uno por uno"), como por ejemplo la inducción matemática, puede funcionar perfecto para probar que la secuencia de Yablo es paradójica; pero necesariamente hace uso de circularidad. En el caso de la inducción matemática, porque necesita probar, llegado el momento, que si la propiedad se da para cualquier n, se dará también para n+1 (eso tengo entendido). Para probar eso, aparentemente, hace falta algún predicado circular a la Priest.

  Pareciera que la regla omega es un principio de inferencia válido, que tiene modelos. Pero, al menos en el caso en discusión, pueden objetársele varias cosas. Para Priest, "ningún razonador finito aplica realmente la regla omega". Para utilizarla debemos haber empezado por probar que para todos los números naturales, uno por uno, se cumple cierta propiedad. Es evidente que no podemos probar nada para los números naturales de esa manera; tendríamos que tomarnos un tiempo infinito. Uno tendería aceptar el uso de la regla omega en el caso de Yablo porque sabemos que para cualquier n, puede probarse -Tsn; pero sabemos eso porque hemos hecho uso de un predicado circular. Tenemos, dice Priest "un método uniforme de construir tales pruebas". Es la "información finita" la que fundamenta la conclusión "Para todo x, A(x)".

 Asimismo, dice Priest, no sólo el argumento sino la misma estructura de la situación hacen patente la circularidad. Tenemos una función s que afirma "todas las afirmaciones obtenidas aplicandose s a los números siguientes es falsa". La discusión sobre el ser con capacidades infinitas tiene cierta importancia, aunque parezca teológica. Sólo un ser tal, al parecer, podría concebir la secuencia de Yablo sin esa función circular s. Aunque esto también es discutible; para Lavinia, en efecto, "la secuencia de Yablo puede expresarse en primer orden con predicado veritativo de manera no circular".

Tengo serias dudas acerca de mi afirmación: "la secuencia de Yablo puede expresarse en primer orden con predicado veritativo de manera no circular". No obstante, tengo algunas réplicas que hacer respecto del comentario anterior de Diego. En primer lugar, la regla omega es, desde mi punto de vista, una regla inferencial de la lógica de segundo orden, como dice Bays (en On Tarski on models). Para demostrar que la secuencia de Yablo lleva a contradicción haciendo uso de la circularidad no es necesario aplicar el principio de inducción matemática; la contradicción es mucho más clara.

El segundo lugar, tengo entendido que, formulada en primer orden, la regla omega no es un principio de inferencia válido. Sin embargo, sabemos que no es autocontradictorio porque los modelos standard de la aritmética constituyen una interpretación que hace verdaderas sus premisas y su conclusión (la regla es contingente en primer orden porque existe un caso en el que sus premisas son verdaderas y su conclusión no).

En fin, respecto de lo del ojo mental, aunque no me compete demasiado, creo que, si nosotros, "seres finitos", no podemos pensar la secuencia sino circularmente, mientras que un ser con capacidades infinitas la concibe como no circular, siendo superior este último, deberíamos aceptar que es circular. En vistas de lo anterior, creo que es preferible quedarse en un plano sintáctico a la hora de hablar de la regla omega.

 Estoy totalmente de acuerdo con lo que decís, aunque quizás (esa sería su revindicación) Ketland sabe algo sobre modelos no estandar que nosotros no sabemos (desconfìo de haber pasado tan rápidamente de admirar a Ketland a considerarlo fuertemente rechazable). Intuitivamente, mueve el tablero al proponer una lista bastante distinta de la original de 1993. De hecho, la lista que propone Ketland en un modelo no estándar tiene algo así como un último elemento (ese objeto no estándar), y ¡eso es contrario al espíritu de la paradoja original!

A pesar de eso, el texto de Ketland no deja de ser excelente por haber señalado

1. que el principio de Punto Fijo Uniforme es contradictorio de por sí.

2.que el principio de Punto Fijo Local aplicado a números naturales es consistente si agregamos un número no estándar al cual ese principio no se le aplique.

y seguramente

3. que la paradoja es circular en el sentido de Priest.

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