No estoy seguro. Lo que se quiere decir cuando se dice, desde la teoría, la oración verdadera “‘esta oración es falsa’ no es verdadera” no es que esa oración es falsa, sino que pertenece al complemento de la extensión de lo verdadero. Ese complemento está compuesto por oraciones falsas, oraciones de valor de verdad indeterminada, y (por último) por todo otro elemento del dominio que no sea una oración. No sé si esta es una idea que manejan quienes no se dedican a la filosofía, pero no estoy cierto que sea la cuestión más apremiante aquí. Porque el punto es que “ser no verdadero” o “no ser verdadero” (asumamos que son sinónimos) expresan un concepto, y por tanto sería interesante que tuviera expresión en algún lenguaje, y en particular en uno que pretenda hablar de propiedades semánticas (no ser verdadero parece ser una propiedad semántica, al menos si entendemos que el significado de una oración se define siquiera parcialmente por las condiciones de verdad). Como cualquier lenguaje que contenga su propio predicado de verdad (que contenga un punto fijo) del tipo de los construidos por Kripke carece de un correlato de esa idea, ese lenguaje no es todo lo satisfactorio que uno quisiera. Pero, ¿cuál sería el correlato de la oración “‘esta oración es falsa’ no es verdadera” en algún lenguaje de la jerarquía tarskiana? Si ser “no verdadera” para el lenguaje equivale a ser falsa, entonces la expresión correspondiente no puede ser una que predique falsedad del mentiroso. Podría ser una en la que se predique del mentiroso “no ser verdadera o no ser una oración”. Claro: tendríamos que admitir, contra las intuiciones, por caso, de Kripke, que el mentiroso no es una oración. (Y puede que no lo sea. Sospecho que el criterio de oracionalidad de Kripke es puramente sintáctico.) Más aún: ¿puede el mentiroso expresarse siquiera en un lenguaje tarskiano? Entiendo que no. (Pero me parece que esto no es un problema. Ese lenguaje podría tener un nombre de la seguidilla de signos “esta oración es falsa”, con lo que se podría decir de ella que no es verdadera o no es una oración.)

Coincido en general con lo que dice Federico. El objetivo de mi comentario no era señalar simplemente lo que ocurre con el predicado de no-verdad en la teoría de Kripke. Es claro que no se puede decir que el Mentiroso no es verdadera en el lenguaje objeto (en Kripke) y ese no es un problema para Tarski simplemente porque el Mentiroso no puede siquiera expresarse tal y como él pone las cosas, como señala Federico. El propósito del comentario era poner énfasis en el hecho de que, dado que en ambas teorías hay jerarquías, al mismo tiempo hay alguna diferencia entre ellas. Si una de las razones por las que Kripke desea un lenguaje que pueda expresar su propio predicado de verdad, es acercarse más a las intuiciones que tenemos cuando atribuimos verdad cotidianamente, entonces la pregunta es ¿y está de acuerdo con esas intuiciones el hecho de que haya infinitos predicados de no-verdad con subíndices? ¿O hay alguna otra forma de salvar con el metalenguaje esa falencia del lenguaje objeto que no sea cayendo en una jerarquía al estilo Tarski? Esta última pregunta me preocupa particularmente. Espero ayuda.

Noelia se pregunta si hay otra forma de lidiar con el mentiroso que no sea la tarskiana, dado que la kripkeana le resulta insatisfactoria. La respuesta es que sí: están las salidas contextualistas y la salida de la teoría de la revisión. Pero me abstendré, mayormente por desconocimiento, de profundizar en los méritos y deméritos relativos de estas dos opciones.

Eduardo sostiene que no hay una jerarquía infinita de conceptos de no-verdad, sino solo dos niveles: el lenguaje objeto, incapaz de ofrecer un correlato del concepto de no-verdad, y el metalenguaje elegido, que es el lenguaje natural. El lenguaje natural no es un lenguaje formalizado, aunque sí formalizable. Si se pide que todo metalenguaje empleado esté formalizado (por caso, para tener mayores indicios de que de ellos no se derivan paradojas) tenemos la jerarquía infinita de lenguajes, cada uno capaz de expresar la idea de no-verdad para los lenguajes de los niveles inferiores. Dada esta jerarquía, entonces no queda ningún predicado de no-verdad sin expresión en algún lenguaje. Claro: si era un desideratum de la teoría evitar toda jerarquía, entonces este enfoque resulta insatisfactorio. Pero acaso esta jerarquía no sea tan problemática como una jerarquía de lenguajes, cada uno con un predicado de verdad distinto. (Sobre el punto, ver la discusión “¿Cuán buena es la teoría de la verdad de Kripke?”.) Si esa jerarquía agota los lenguajes admisibles como metalenguaje, queda aún la cuestión de a qué nivel pertenece la teoría desde la que se formula la existencia de la jerarquía. (Sospecho que tiene que hacérselo desde fuera de la jerarquía, pero no dispongo de una prueba de esta tesis.) Si el lenguaje natural es admisible como metalenguaje, entonces, en efecto, la jerarquía existe, pero es prescindible. Pero, ¿no era que el lenguaje natural engendra contradicciones? Bueno, acaso no el fragmento desde el que se expone la teoría. (El que no esté formalizado lo hace sospechoso ante los ojos de quienes desconfían de las posibles consecuencias indeseadas disimuladas por los giros poco claros del lenguaje natural.)

Queda la cuestión de cómo evaluar la existencia de mentirosos vengativos. Déjenme pensar…

Quisiera volver al tema de las jerarquías de lenguajes a los que se ve, aparentemente, condenada la teoría de puntos fijos de Kripke, si mantiene su afán por expresar todo concepto semántico interesante. En particular, para cualquier lenguaje de nivel n de la jerarquía, será imposible formular, en ese lenguaje, por ejemplo, que la oración intuitivamente verdadera que dice que la oración del mentiroso tiene un valor de verdad distinto al valor de verdad “verdadero”. (Es decir, la oración que intuitivamente puede formularse desde fuera de ese lenguaje de nivel n que dice que ‘el mentiroso’ no es verdadera.) Para hacerlo desde un lenguaje formal, con propiedades sintácticas y semánticas más ‘a la vista’ que las del lenguaje natural, debemos utilizar los recursos expresivos de un lenguaje, al menos, de nivel n+1. Esto hace que, con la jerarquía, tengamos todos los  conceptos de ser no verdadero de algún nivel infinito numerable. Pero: ¿no podríamos tener un lenguaje que contuviera a todos ellos? ¿No podría ser este un lenguaje de nivel w? Claro: este lenguaje no tendría su propio predicado de ser no verdadero, para expresar el cuál tendríamos que subir de nivel. ¿No puede haber un nivel en el cuál contemos con un lenguaje que exprese su propio predicado de no-verdad? ¿No podrían construirse puntos fijos para el concepto de ser no verdadero? He ahí una pregunta para la que no tengo, hoy por hoy, respuesta.

Otra pregunta pertinente es desde dónde qué lenguaje se postula la existencia de la jerarquía. La existencia de la secuencia de oraciones postulada por Yablo es, tengo entendido, un teorema de la aritmética. Si la existencia de la jerarquía de lenguajes kripkeana lo fuera, no habría mayor problema con ella, pues tendría tanta garantía como la aritmética. ¿Lo es? Si no lo fuera, vislumbro dos opciones para el defensor de las bondades de esta jerarquía. La primera es postularla desde el lenguaje natural. Entendemos el lenguaje natural, así que entendemos la oración que expresa la existencia de la jerarquía. Pero, ¿qué compromisos asumimos al hacer esa afirmación? No es seguro que no nos comprometamos con tesis de las que se derivan contradicciones, y muy probablemente la claridad de los conceptos utilizados no sea la de los  conceptos matemáticos. La segunda opción es asumir que la significatividad de la presunta afirmación que postula la existencia de esa jerarquía no es segura, y es un mero recurso persuasivo para que comprendamos la mejor solución de algunos problemas relativos a algunas paradojas semánticas: la salida kripkeana. Funcionaría, entonces, como Wittgenstein creía que actuaba su Tractatus: no como una teoría, porque no es significativa (y una teoría, si es un conjunto de afirmación, debería serlo), sino como un medio para llegar a la cima del muro, contemplar la verdad, etcétera (ponga aquí el complemento metafórico favorito).

Queda, todavía, por resolver qué hacer con las paradojas vengativas (o los mentirosos vengativos). Sigo pensando una respuesta.

Una de las cuestiones que se plantea Noelia tiene que ver con nuestras intuiciones: Kripke logra que un lenguaje exprese su propio predicado de verdad cuando se lo interpreta como un punto fijo, eliminando así la jerarquía de predicados veritativos tarskiana, que va en contra de nuestras intuiciones acerca de lo que pasa cuando predicamos verdad.

Lo que queremos, en particular, es que en oraciones como, p.ej, (1) La nieve es blanca, (2) Es verdadero que 'la nieve es blanca' y (3) Las oraciones (1) y (2) son verdaderas, el predicado de verdad sea el mismo.

Kripke logra hacer esto con su teoría: la jerarquía tarskiana entera queda abarcada en un punto fijo, sin que esto implique negar un nivel a cada oración.

Así recupera nuestra intuición acerca del uso del predicado de verdad en el lenguaje natural.

La pregunta es qué pasa con el predicado de no-verdad, que resulta ahora condenado a la ambigüedad que sufría antes de Kripke el predicado de verdad. Pareciera que para  adecuarnos con la teoría a una intuición, no queda más que ir contra otra intuición.

Yo creo que esto no es así, simplemente porque el predicado de no-verdad del metalenguaje de Kripke no es el predicado de no-verdad del lenguaje natural, en el sentido de que no es el que estamos acostumbrados a usar. Nosotros predicamos no-verdad cuando queremos decir falsedad; sería antiintuitivo que el predicado de falsedad fuera ambiguo (jerarquizara), pero esto no pasa en la teoría de Kripke: un lenguaje cuyo modelo es un punto fijo también tiene su propio predicado de falsedad.

Me aprece que el predicado de no-verdad que resulta ambiguo en Kripke no es el que usamos intuitivamente, sino uno que, como dice Federico, es el complemento del predicado de verdad, de modo que incluye lo falso y lo indeterminado; por lo tanto, que jerarquice no va en contra de nuestras intuiciones, y en este sentido, está a la par de los otros predicados del metalenguaje que, como bien dice Noelia, también jerarquizan, entre ellos, "paradójico" e "infundado".

Quiero decir algo sobre la objeción que me hace Roberta. Ella cree que no es antiintuitivo que el predicado de no-verdad jerarquice porque cuando decimos “no verdad” queremos decir “falsedad”, por tanto, el predicado de no-verdad que jerarquiza en Kripke no es el que usamos intuitivamente (es decir, en el lenguaje natural), y por tanto, su status es el mismo que de nociones como “paradójico” o “infundado”.

En primer lugar, la observación de Roberta esta presuponiendo que el lenguaje natural es bivalente. Si bien es una idea que parece razonable, no es fácil de justificar. Es cuestionable que el lenguaje natural se rija por alguna lógica.

Pero aún suponiendo que efectivamente el lenguaje natural sea bivalente, entonces la teoría de Kripke (aún concediendo que supera la jerarquía tarskiana) seguiría alejándose de nuestras intuiciones, porque si el lenguaje natural fuera bivalente, no tendríamos forma de entender qué significa que una oración tenga valor de verdad “indeterminado”. Sin embargo, no creo que este sea el caso.

En mi primer comentario dije que tenia en mente que el lenguaje natural fuera bivalente y me bastó pensar muy poco para refutar esa tesis; en efecto, el Mentiroso no puede ser ni verdadera ni falsa, porque ambas situaciones conducen a contradicción: he aquí una oración a la que no puede adscribírsele ni uno ni otro valor de verdad, cosa que haríamos obligadamente si nuestro lenguaje fuera bivalente, sin embargo, entendemos perfectamente que carezca de valor de verdad: cuando pensamos en la oración del Mentiroso, no la pensamos ni como verdadera, ni como falsa. Eso me lleva a aceptar, con Kripke, los vacíos de verdad de los que alguna vez desconfié.

 Sin embargo, sin hacer presuposiciones sobre el funcionamiento del lenguaje natural, es un hecho que utilizamos es predicado de no-verdad. Sea para decir “falsedad” o para decir cosas como que en el lenguaje objeto de Kripke, la oración del Mentiroso no es verdadera, en el sentido de que queda siempre como “indeterminada”. No creo que haya que ser un filósofo para predicar no-verdad en el lenguaje natural sin querer decir falsedad. Desde el momento en el que se aceptan los vacíos de verdad, la objeción de Roberta no es posible.

Puede ser que todo lo que diga a continuación esté directamente mal.

Me parece que no es lo mismo aceptar vacíos de verdad y tener una lógica trivalente en la que, además de "verdadero" y "falso", aceptamos, como predicado, a "indeterminado". El predicado de no-verdad jerarquiza en el segundo caso, no en el primero. Creo que el lenguaje natural tiene vacíos de verdad, pero no es trivalente. Si en el lenguaje natural decimos que el Mentiroso no puede ser no-verdadero ni no-falso, estamos diciendo que no puede ser ni falso ni verdadero, y esto es lo mismo que decir que no tiene un valor de verdad, no que tiene un valor de verdad indeterminado, como si este fuera un tercer valor.      Ahora bien, desde un metalenguaje, ahora sí, trivalente y sin vacíos de verdad, como el de la teoría de Kripke, no-verdadero ya no es lo mismo que falso, y esto hace que aparezca el Mentiroso reforzado ("Esta oración no es verdadera"), y que el que ahora jerarquice sea el predicado de no-verdad. Si el predicado de no-verdad del lenguaje natural fuera el mismo que el del metalenguaje, ¿no tendríamos al Mentiroso reforzado en el lenguaje objeto? ¿No sería contradictoria la teoría de Kripke?

De todos modos, reitero la oración que encabeza mi comentario y espero ayuda.

Intuitivamente, una cosa es que una oración no tenga valor de verdad, y otra que tenga valor de verdad “indeterminado”. Admitir vacíos de valor de verdad es admitir que hay oraciones que no tienen ningún valor de verdad, por caso, porque algún elemento presuntamente significativo no es tal. Hay quienes creen que oraciones como “El actual rey de Argentina escucha a Bowie” carece de valor de verdad porque la expresión, pretendidamente referencial, “el actual rey de Argentina” falla en la referencia (porque no hay un actual rey de Argentina). Decir que El Mentiroso tiene valor de verdad “indeterminado” es decir que tiene un valor de verdad definido, y que ese no es el valor de verdad “verdad” ni el valor de verdad “falsedad”, sino el valor de verdad “indeterminado”. Hablar de oraciones con vacíos de valor de verdad representa un tipo de problema distinto a hablar de oraciones con valor de verdad “indeterminado”.

Por otra parte, acuerdo con Noelia, y desacuerdo con Roberta, en pensar que en el lenguaje natural (o en nuestras intuiciones sobre nuestro modo de hablar) predicar no-verdad equivale a predicar falsedad. Digo: estoy fuertemente inclinado a afirmar que El Mentiros no es verdadero, y estoy fuertemente inclinado a negar que El Mentiroso sea falso.

Un último punto: pensar que hay oraciones que no pueden tener condiciones de verdad determinadas sea, acaso, un motivo para poner en duda el criterio de significatividad oracional puesto en circulación por Kripke. Pero esto ya lo discutimos en otro lado. (Ver el debate Ramiro Caso/Federico Pailos en “¿Cuán buena es la teoría de la verdad de Kripke?”, en este mismo blog.)

PD: Sigo debiendo decir algo sobre las venganzas, lo sé.

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