| Sobre la representabilidad de la regla-omega |
Para analizar el comportamiento
de la secuencia de Yablo en términos de modelos de puntos fijos, se ha
postulado la necesidad de representar en el lenguaje objeto para el cual se
construye una semántica kripkeana, la regla-omega. Se ha propuesto también que
esto sea hecho por medio de una oración de dicho lenguaje. Encuentro dos razones,
estrechamente relacionadas, que parecen indicar que esto no es posible.
En primer lugar, la formulación
de la regla omega parece requerir la posibilidad de especificar una condición
sobre elementos del dominio, que sea algo como “x puede ser alcanzado a partir
de 0 por un número finito de aplicaciones de la función sucesor” o alguna otra
equivalente, de modo que sea posible aislar la secuencia inicial a_0, a_1, a_2…
de los modelos de la aritmética de primer orden, para aplicar sobre ella la
regla. Sin embargo, esta condición (u otra equivalente) es definible recién en
segundo orden.
En segundo lugar, y de manera más
general, si fuera posible representar el contenido de la regla omega en (el
lenguaje de) una teoría de primer orden, entonces sería posible caracterizar
hasta el isomorfismo los modelos de la aritmética de primer orden (esto es,
tendríamos una teoría aleph_0-categórica). Sin embargo, por un teorema de
Skolem [1935] sabemos lo siguiente:
[Skolem, 1935]. La Aritmética de Primer Orden admite modelos
contables no isomórficos con N
donde N
es el modelo estándar de la Aritmética. Dicho de otra manera, el resultado de
Skolem muestra que la Aritmética de Primer Orden no es aleph_0-categórica. El
supuesto de que la regla omega es representable en primer orden contradice este
teorema, con lo cual parece que la regla omega no puede ser representada en
primer orden.
Todo esto parece motivar la necesidad de emplear un
lenguaje suficientemente expresivo como para representar el contenido de la
regla omega, al dar un análisis del comportamiento de la secuencia de Yablo en
términos de modelos kripkeanos de puntos fijos. Conjeturo que tal lenguaje podría ser de
segundo orden, en el cual condiciones como la especificada pueden ser
definidas.
Comentarios (7).
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Comentario: 1. Muchas veces se supone que Yablo ((1985)- (1993)- (2004)) ha mostrado que la existencia de paradojas semánticas no depende de que como parte de los recursos expresivos del lenguaje contemos con autorreferencia. Su presunta prueba consiste en la formulación de una secuencia infinita de oraciones tales que cada una de ellas dice que todas las siguientes son falsas. Sin embargo, aquellos que han intentado una reconstrucción formal de la paradoja, encuentran que no es fácil señalar cuáles serían los principios intuitivos suficientes para derivar una contradicción en la mencionada secuencia.
A partir de Hardy (1995) y del trabajo de Ketland (2004) se ha discutido si la peculiaridad de la paradoja de Yablo surge, a diferencia de la del mentiroso, de la aplicación de la regla omega. Particularmente, el resultado de esta discusión es que la secuencia de Yablo, no sería precisamente inconsistente, sino omega-inconsistente. Esto es, el surgimiento de la paradoja supondría la validez de la regla omega.
Un punto importante a discutir es si la regla omega es una regla lógica. Es conocido que Tarski (1936) presenta a la mencionada regla como un contraejemplo a la concepción derivacional del concepto de consecuencia. Tal forma de razonar preservaría verdad de premisas a conclusión, sin que tal preservación se pueda corresponder con algún tipo de derivación finita de premisas a conclusión producto de la aplicación de reglas de inferencia. El ejemplo de Tarski ha producido una enorme discusión (Etchemendy (1990) y Bays (2001)). La validez de la regla omega supera los límites de la teoría de modelos de primer orden (modelos cuyos dominios son variables, pero siempre del tamaño de un conjunto – Teorema de Kreisel). Para que la regla omega sea una instancia de consecuencia lógica o bien hay que tomar como constantes lógicas cada uno de los numerales que aparecen en las infinitas premisas de la regla (lo que limita las estructuras que cuentan como modelos standard) y posibilita que la conclusión sea una consecuencia semántica de las infinitas premisas, o bien hay que ampliar los límites de la lógica admitiendo que el lenguaje en el que se formula la regla sea un lenguaje de orden superior. Bays (2001) y Shapiro (1991) se inclinan por esta opción. Este último, al analizar la capacidad expresiva de los lenguajes de primer orden, sostiene que los mismos adolecen de ciertas restricciones. Es una consecuencia directa de que en los sistemas lógicos de primer orden valgan compacidad y el teorema Löwenheim-Skolem que muchos conceptos matemáticos (finitude, countability, well-foundedness, well-order, etc.) no puedan ser capturados correctamente. Y por cierto, tal como Shapiro argumenta en (1991) no es claro que se pueda trazar una linea precisa entre lo que es logica y lo que no es.
Claro que lo que se gana en riqueza expresiva tiene su costo. En los sistemas de segundo orden fallan compacidad y Löwenheim-Skolem. Se sigue del teorema de incompletitud de Godel que la relacion de consecuencia semantica no es efectiva. Y ademas, es inherentemente incompleta, ya que no existe la posibilidad de que todas sus verdades sean representables en una teoria recursivamente enumerable. Esto significa que, si tal como propone Lavinia, intentamos representar la Paradoja de Yablo usando la regla omega, regla que supone una formulacion que excede los limites del primer orden, lo que se gana en riqueza expresiva supone pagar el precio de tener una teoria cuyas propiedades metateoricas la vuelven recursivamente intratable.
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Comentario: 2. Primer me gustaría consultar si comprendí bien las dos razones que imposibilitarían la formulación o expresión de la regla-w en primer orden.
Queremos un lenguaje objeto cuya semántica sea kripkeana y en el cual se pueda formular la Paradoja de Yablo, para lo cual se necesita la regla-w.
La regla-w permite inferir, de A0, A1, A2,...,An,... --> Para todo número k, Ak. Como se puede observar y ya señaló Ramiro, esto exige, para conservar su valor inferencial intuitivo, que todos los números obtenidos en la teoría puedan ser construidos a partir de 0 y la operación sucesor.
En cuanto a las dos limitaciones, si no comprendí mal, ambas están vinculadas con la posibilidad abierta por el teorema de Skolem (1935), muestra que hay modelos no estándar para PA (teoría aritmética formulada en primer orden), es decir, que aunque poseen una cardinalidad igual a la estándar, no son isomórficos. Así, por un lado, no se puede formular la condición necesaria para formular la regla-w e, inversamente, si se pudiese formular la condición, entonces se podría implicar que sólo hay modelos estándar (o que, como señaló ramiro, todos los modelos de la aritmética son isomórficos), lo que es refutado por el teorema de Skolem.
Ramiro, son estos los dos puntos que señalás?
Por otro lado, sugeriste la posibilidad de utilizar segundo orden en el lenguaje objeto, y sostengo que ese es el mejor camino posible. Sin embargo, la tarea es triplemente complicada. Necesitaríamos lograr tres cosas:
- Formular la regla-w en segundo orden.
- Hacer una semántica kripkeana de una teoría de segundo orden.
- Que esta semántica haga válida la inferencia de la regla-w para todo modelo (de otro modo, creo que volveríamos a la misma situación semántica que con primer orden y sus modelos no estándar). Pero eso es cuestión de lograr 1. y de alguna manera ponerlo como axioma.
En cuanto al primer punto, Timothy Bays dice que es perfectamente viable, pero personalmente no vi ninguna formulación concreta. Debe ser cuestión de buscar y tener presente la más apropiada.
En cuanto al segundo, en "Outline of a Theory of Truth", pg. 706 de la versión informática que casi todos poseemos, Kripke sugiere que es posible extender la semántica por él presentada en ese paper más allá del primer orden, pero no lo desarrolla. Esto es un antecedente, pero nuevamente no tengo presente si hay algún trabajo desarrollado en el tema. Por lo poco ortodoxo de la demanda, creo que debe ser poco posible que haya.
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Comentario: 3. Me gustaría continuar con la defensa de segundo orden y nuevamente consultar algunas cuestiones.
Eduardo ha enumerado una serie de diferencias entre los resultados respecto de primer orden con segundo orden. Me gustaría esbozar, casi a modo de ejercitación, una defensa de segundo orden. En primer lugar, los principales resultados de Löwenheim-Skolem, hasta donde mis conocimientos alcanzan, hablan sobre las limitaciones de los lenguajes y los modelos de las teorías de primer orden (a saber, que si L es un lenguaje de primer orden de cardinalidad κ, donde κ es un cardinal infinito, entonces, todo conjunto de oraciones de L que tiene un modelo, tiene un modelo de cardinalidad menor o igual que κ. y si un conjunto de oraciones de un lenguaje de primer orden tiene un modelo infinito, entonces tiene modelos arbitrariamente grandes). En este sentido, no tenerlos es una ventaja. En cuanto a la incompletitud y su inherencia, entiendo que el mismo resultado está para primer orden (aunque confieso que ahora estoy algo confundido), con lo cual no es una desventaja comparativa de segundo orden. En tercer lugar, en cuanto a compacidad, esa sí es claramente una ventaja de primer orden frente a segundo. Por último, en cuanto a la recursividad me abstengo, porque no comprendo quiere decir "recursivamente tratable", agradecería a cualquiera que me lo explique.
Por otro lado, siguiendo con mi anterior comentario, me gustaría sugerir una estrategia para dar una interpretación kripkeana a una teoría de segundo orden. Esto no puede verse más que como un esbozo que no hace más que mostrar que es posible.
La estrategia es emular a Kripke en lo que respecta a las fórmulas problemáticos, operando respecto de la semántica usual de segundo orden del mismo modo que Kripke lo hizo con la de primero. Las cláusulas para:
- Fórmulas sin cuantificadores y sin conectivas (ej: Pa).
- Fórmulas sin cuantificadores y con conectivas (ej: Pa --> Fa).
- Fórmulas con cuantificadores de primer orden y conectivas (ej: Vx(Px-->Fx).
- Fórmulas con variables libre (ej: Px-->Fx) (que necesitan de Satisfacción)
Se pueden obtener del "Outline of a Theory of Truth". Para fórmulas que involucren cuantificación de segundo orden, tomemos la semántica usual de segundo orden y digamos, para un predicádo n-ádico, como Kripke:
EXn f(Xn) es verdadero sii f(Xn) es verdadero para alguna asignación de un subconjuto de D de n-tuplas a Xn.
EXn f(Xn) es falso sii f(Xn) es falso para toda asignación de un subconjunto de D de n-tuplas a Xn.
EXn f(Xn) es falso sii no es ni verdadero ni falso.
VXn f(Xn) puede ser definido como ~EXn ~f(Xn)
Cito a Kripke para mostrar que el razonamiento es análogo:
"(3x)A(x) is true if
A(x) is true for some assignment of an element of D to x; false if
A(x) is false for all assignments to x, and undefined otherwise.
(x)A (x) can be defined as ~ ( 3 % ) N A (x)."
La estrategia es emular a Kripke en lo que respecta a las fórmulas problemáticos, operando respecto de la semántica usual de segundo orden del mismo modo que Kripke lo hizo con la de primero. Las cláusulas para:
- Fórmulas sin cuantificadores y sin conectivas (ej: Pa).
- Fórmulas sin cuantificadores y con conectivas (ej: Pa --> Fa).
- Fórmulas con cuantificadores de primer orden y conectivas (ej: Vx(Px-->Fx).
- Fórmulas con variables libre (ej: Px-->Fx) (que necesitan de Satisfacción)
Se pueden obtener del "Outline of a Theory of Truth". Para fórmulas que involucren cuantificación de segundo orden, tomemos la semántica usual de segundo orden y digamos, para un predicádo n-ádico, como Kripke:
EXn f(Xn) es verdadero sii f(Xn) es verdadero para alguna asignación de un subconjuto de D de n-tuplas a Xn.
EXn f(Xn) es falso sii f(Xn) es falso para toda asignación de un subconjunto de D de n-tuplas a Xn.
EXn f(Xn) es falso sii no es ni verdadero ni falso.
VXn f(Xn) puede ser definido como ~EXn ~f(Xn)
Cito a Kripke para mostrar que el razonamiento es análogo:
"(3x)A(x) is true if
A(x) is true for some assignment of an element of D to x; false if
A(x) is false for all assignments to x, and undefined otherwise.
(x)A (x) can be defined as ~ ( 3 % ) N A (x)."
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Comentario: 4. Si el lenguaje en cuestión es finitario, la fórmula que capture la regla omega no puede ser un condicional que indicara explícitamente que la propiedad en cuestión se aplica correctamente a cada número natural. Para lograrlo, se requeriría que el antecedente fuese una (sub)fórmula infinita –y no contamos con fórmulas de este tipo en un lenguaje finitario. La opción más razonable es la señalada por Ramiro: “la formulación de la regla omega parece requerir la posibilidad de especificar una condición sobre elementos del dominio, que sea algo como “x puede ser alcanzado a partir de 0 por un número finito de aplicaciones de la función sucesor” o alguna otra equivalente”. Ramiro concluye que esta condición no es definible en primer orden. (El segundo motivo por el que esto no es así es que su admisión contradiría el Teorema de Skolem.)
De todas formas, entiendo que para probar el carácter problemático de la secuencia de oraciones de Yablo en la teoría de puntos fijos de Kripke acaso se requiera menos que tener a la regla omega como una fórmula. No requerimos, de hecho, siquiera tener un correlato de la regla omega, regla que habla de toda propiedad que los números naturales pudieran tener, sino mucho menos. Lo que queremos es tener, en algún punto fijo, todas las oraciones de la secuencia de Yablo, cada una de las cuáles dice que ciertas otras oraciones (‘las que le siguen’) son falsas, más la oración que dice que todas esas oraciones son falsas. ¿Es imposible formular estas oraciones en un punto fijo kripkeano de primer orden?
Si pudiéramos tener esto, podría probarse que no puede asignarse a ninguna de estas oraciones ni verdad ni falsedad, y que por tanto son indeterminadas. (Como pretendemos tratar a la secuencia como paradójica, debería ser indeterminada en todo punto fijo.)
Si pudiéramos tener esto, podría probarse que no puede asignarse a ninguna de estas oraciones ni verdad ni falsedad, y que por tanto son indeterminadas. (Como pretendemos tratar a la secuencia como paradójica, debería ser indeterminada en todo punto fijo.)
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Comentario: 5. Respecto de lo de Federico, creo que si tenemos todas las oraciones de Yablo y, además, una oración que dice que son todas falsas la contradicción saldría. El tema es que, mientras que la regla omega puede ser intuitiva en algún grado, no así la mera afirmación de que las oraciones de Yablo son todas falsas. Además, usando ese método, se puede concluir que la oración (12) de Kripke también es paradójica (o bien yo o mi negación somos verdaderas) si se acpeta como verdadera la oración que dice que 12 es falsa. En general, se podrá concluir paradojicidad de cualquier afirmación que no pueda ser falsa si se afirma su falsedad.
Por último, la oración misma que dice que todas las oraciones de Yablo son falsas sería paradójica ya que al dejar a todas las oraciones de Yablo en indeterminado, teniendo el concepto de verdad como un punto fijo tal y como lo define Kremer, ésta es también indeterminada, por predicar falsedad de un conjunto de oraciones que ella misma envía a indeterminado. Por lo tanto, una oración que diga que todos los enunciados de la secuencia de Yablo son falsos nunca puede ser verdadera y, por eso, no puede usarse para derivar una contradicción a partir de ellos. El problema está en el hecho de que, si se supone que tal enunciado es verdadero, entonces es indeterminado. En realidad, ese enunciado debería hacerse desde un metalenguaje, por eso no sirve para analizar el comportamiento de Yablo en el mismo lenguaje de Kripke.
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Comentario: 6. No sé cuán importante es esto, pero sucede que en la presentación de 1993 (que hemos tomado siempre como referencia), las oraciones de Yablo dicen "las oraciones siguientes son no-verdaderas (untrue)"; no dicen "las oraciones siguientes son falsas". Pero si el predicado no-verdad no puede expresarse en el lenguaje objeto, no entiendo cómo la secuencia de Yablo puede expresarse en el lenguaje objeto.
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Comentario: 7. En defensa de la posibilidad de representar la secuencia de Yablo en la teoría de Kripke, considero que (i) el predicado de no verdad no es único sino que depende del de verdad, que tampoco lo es, es decir, si el predicado de verdad es bivalente entonces el de no verdad también y, por eso, decir no verdad es decir falsedad; (ii) por la existencia del Mentiroso Reforzado y el Mentiroso Vengativo, Kripke se ve obligado a distinguir entre el lenguaje objeto y el lenguaje teórico: mientras que el primero es bivalente, el segundo es trivalente. Por lo tanto, el predicado de no verdad del lenguaje objeto es el de Falsedad y sí se puede representar. Si se puede representar un predicado de verdad en un lenguaje en el cual se tiene el simbolito de negación, entonces se puede representar un predicado de no verdad en dicho lenguaje.
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