| Paradoja de no estandaridad |
Leitgeb dice en su texto "Theories of truth which have no standard models" que hay al menos dos tipos de oraciones problemáticas:
- las que llevan a inconsistencia. Por ejemplo, la oración del mentiroso.
- las que llevan a no estandaridad. Es decir, las que requieren, para que el sistema siga siendo consistente, que la teoría tenga como dominio también a números no estándar.
La omega inconsistencia la tiene un sistema cuando puede probar (a) para cada número, que éste tiene cierta propiedad: P(1), P(2), P(3); y (b) que hay un número que no tiene esa propiedad: -AxP(x).
Como ejemplo de una oración problemática que lleva a no estandaridad, Leitgeb da el "Oración del mentiroso infinita" de McGee. El sistema al cual afecta en su artículo es el sistema Gamma (es un sistema bastante normal, no tiene nada raro), pero podría afectar a muchos otros. Leitgeb no da una demostración, pero sugiere hacerla. Aquí está mi intento, un poco impreciso quizás, pero creo
que bastante intuitivo. La "paradoja" es de por sí bastante interesante porque se vale de iteraciones del esquema T.
A. PRELIMINAR
El sistema Gamma es una lógica de primer orden que contiene la aritmética y las siguientes reglas:
K: T('p --> q') --> ( (T'p') --> T('q') )
D: T('-p') --> -T('p')
Nec: p / T 'p'
Barcan:
Ax (T (sub ('y', 'p', nom(x)))) --> T (Ay p) [esto es parecido a
Introduccion del cuantif. universal, igual no es tan importante
entenderlo del todo]
OMEGA-PARADOJA
B.FUNCIÓN F, ITERACIÓN DEL PREDICADO T
Creamos
una función F(n, a). n es un número, a es el nombre de una fórmula y F
es una función que va de esos al nombre de otra fórmula, que será el de
la fórmula de nombre 'a' con el predicado T reiterado n veces. Por
ejemplo, F(2, a) será "' T '' T 'a' '' ''', algo así como "es
verdadero que es verdadera la oración 'a' ". F(3, a) será algo como "es
verdadero que es verdadero que es verdadera la oración 'a' ", y así
sucesivamente para todo número.
C. ORACIÓN PARADÓJICA
La oración S es
S <--> -Ax T(F (x, 'S')
es
decir, "no toda aplicación iterada del predicado veritativo a mi nombre
es verdadero". Si S, entonces llegaremos a algún punto n en el
que NO sea verdadero que es verdadero que es verdadero ... [n veces]...
la oración 'S'.
D. PRUEBA DE OMEGA-INCONSISTENCIA
Supongamos que S es falsa.
-S [supuesto]
Ax T(F (x, 'S') [por bicondicional de la oración]
T '-S' [por Nec]
-T 'S' [por D]
Traducción:
Si
S era falsa, entonces toda aplicación iterada del predicado veritativo
a su nombre es verdadera. Sin embargo, ya encontramos una aplicación
iterada del predicado veritativo a su nombre que es falsa.
Contradicción.
Supongamos que S es verdadera.
S [supuesto]
T 'S', es decir, T(F (0, 'S') [por Nec]
T '' T 'S' ", es decir, T(F (1, 'S') [por Nec]
T "' T " T 'S' " "', es decir, T(F (2, 'S') [por Nec]
... así, por iteración de esquema T ascendente [Nec], para cualquier n perteneciente a omega, T (F, n, 'S'),
pero
-Ax T(F (x, 'S') [por bicondicional de S]
Entonces se prueba la omega-inconsistencia del sistema.
Comentarios (4).
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Comentario: 1.
Diego, creo que tu demostración es
correcta. No obstante, algunos comentarios.
Primero, no vi que hayas usado las reglas de inferencia K y Barcan, por
lo que en ppio no veo que sea necesario introducirlas.
Segundo, terrenos pantanosos.
La demostración trata de probar que no hay
modelos estándar para una teoría de la verdad con el bicondicional que
marcaste.
¿Cuál es el modelo no estándar de la teoría
que hace verdadero a ese bicondicional?
La primera parte de tu demostración (la que
parte de que S es falsa), vale para todo modelo porque es meramente sintáctica.
Luego, S no puede ser falsa; por lo tanto, si hay un modelo para el
bicondicional, deberá hacer verdaderos a ambos términos del bicondicional. Analicemos
esta posibilidad.
S es verdadera, fantástico.
Consieremos ahora -AxT(F(x,“S”) y veamos
que pasa si es verdadera (como debe ser).
Esta formula es equivalente a Ex-T(F(x,”S”))
, … pero como la demostración muestra, no será verdadera de ningún número no
estándar… luego, x es no estándar, y he aquí la situación obtusa.
Por un lado, es increíblemente raro pensar
que una oración sea verdadera (S), pero que hay
una aplicación no estándar de el predicado T, cuyo último aplicación es –T, o algo así, es realmente difícil de
expresarlo y aún más de concebirlo.
Por otro lado, F debe ser una función
recursiva, de otro modo no sería representable en la aritmética y, además, si
permitimos que opere con conjuntos de cualquier tipo, entonces esa demostración
también valdría para números no estándar. Supongo que la definición de F sería
algo como:
- F(0,"a")
= a
- F(n+1,
"a") = T(F(n,"a"))
F busca representar una operación sintáctica
elemental: predicar verdad de una oración (una cantidad n de veces). Lo más natural, creo yo, es pensar que esa operación sólo
es válida recursivamente, esto es, aplicable a los números estándar.
En conclusión, me parece al menos
sospechoso que Leitgeb efectivamente pruebe lo que quiere probar.
Por último, una idea a revisar: Sugiero que
nuestro bicondicional no es más que el mentiroso.
En primer lugar, hay que notar que 'S' es el punto fijo del predicado
-AxT(F(x,y)). En segundo lugar, una demostración apresurada:
-AxT(F(x,y)) ß> (1) Ex-T(F(x,y)) <-->(2)
Ex T(-F(x,y)) <-->(3) Ex-F(x,y) <-->(4) -F(n,y) <-->(5)
-T(T(T...T(y)...))) <--->(6) -T(y)
(1)
Equivalencia básica.
(2)
Esquema T.
(3)
Aplicación rara y rápida
(aunque intuitivamente válida para mi) del esquema T.
(4)
Instanciación de un
existencial.
(5)
F representa una función
recursiva.
(6)
Muchos esquema T.
Luego, “S” es el mentiroso.
Saludos, encuentro el tema muy interesante.
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Comentario: 2. La oración del mentiroso infinita (McGee) posee una cuantificación universal. La misma expresa que:
No toda aplicación reiterada a mi nombre es verdadera.
A diferencia de la secuencia infinita de oraciones de Yablo, no pretende evitar a autorreferencia, pero al igual que la secuencia, genera omega-inconsistencia. Recordemos que la omega inconsistencia es la incapacidad de probar algo. En este caso, somos incapaces de probar que de n aplicaciones reiteradas del predicado veritativo se siga que toda aplicación reiterada provocará el mismo resultado.
La oración del mentiroso infinita es falsa en el modelo estándar de la aritmética. Esto es así, ya que en ese caso, coinciden los números considerados en la reiteración de la aplicación del predicado con los números del dominio del modelo: reiteramos tantas veces la aplicación de T como números naturales hay en el dominio de interpretación del modelo. Por lo tanto, no puede haber una nueva aplicación del predicado veritativo que haya verdadera la oración del mentiroso infinita. (de hecho, al igual que lo que sucede con la secuencia de Yablo, suponer que la hay genera una inconsistencia). Sin embargo, la oración del mentiroso infinita no es falsa en todo modelo. En particular, puede construirse un modelo cuyo dominio tenga elementos no estándar en donde exista un hiato entre el número de aplicaciones de T (el procedimiento de reiteración del operador T, tiene que ser distinto al de la negación y otros conectivos de la lógica proposicional, ya que la secuencia tiene que ser infinita) y los elementos del modelo, que el incluir números no estándar son capaces de hacer verdadera a la formula. Nuevamente, al igual que lo que sucede con la serie de Yablo, podríamos formalizar la formula dentro del lenguaje de la aritmética de primer orden:
S si y sólo si existe un x tal que no es verdadera la aplicación reiterada a mi nombre (para toda aplicación k perteneciente a omega).
Si hay un número no estándar en el M que no pertenece a omega, este número puede hacer que la oración del mentiroso infinita sea verdadeda en M (es decir que haya una aplicación del predicado veritativo para la cual no sea verdadera la reaplicación a su nombre), aunque toda reaplicación de n veces estándar del predicado a si misma sea siempre verdadera.
Por supuesto, como ustedes saben, mi posicion es que en este caso el supuesto predicado veritativo de ese lenguaje dejaría de ser un predicado veritativo, ya que su mera introducción al lenguaje de la aritmética de primer orden crea “nueva ontología” no estandar. Si la verdad de “Tp” depende de unicamente “p” y no me parece que se pueda aceptar como un predicado veritativo aquel que aparezca en axiomas que no sean verdaderos de los números naturales estándar pero que si puedan serlo de los numeros no estándar. Las Teorías de la Verdad que sólo tienen modelos no estándar, que aunque consistentes (tienen modelos no estandar) son omega inconsistentes (generan no estandaridad) no ofrecen análisis legítimos de la verdad.
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Comentario: 3. ¿Por qué pienso que las Teorías de la verdad que no pueden tener modelos estándar son inapropiadas?
Me parece que, de manera análoga al resultado de Tarski que limita la capacidad de expresar verdad dentro del lenguaje, es una consecuencia directa del resultado de Yablo, que un lenguaje que pueda hablar de secuancias infinitas ordenadas de oraciones también es incapaz de expresar su propio predicado de verdad. Y esto, no porque la teoría resultante no tenga modelo y por lo tanto sea inconsistente, sino porque aunque seamos capaces de encontrar modelos para la misma, el presunto predicado veritativo de la teoría resultante no podrá ser una buena representación de la verdad. Esto es, de acuerdo a mi posición, la secuencia de oraciones de Yablo nos muestra que un lenguaje que posea suficientes recursos como para expresar secuencias infinitas de oraciones es un lenguaje incapaz de expresar su propio predicado de verdad. Por supuesto, el argumento también vale para una teoría que permita formular la oración del mentiroso infinita de McGee.
Mi argumento es el siguiente: sea PA una teoría de primer orden enriquecida con expresiones suficientes como para expresar la aritmética. Tómese esa teoría con la interpretación estándar. En la misma, cada uno de los númerales, 1, 2, 3 son interpretados como hablando del número 1, 2, 3 respectivamente. Lo mismo sucederá con los predicados y los símbolos de función. Y los cuantificadores tendrán como alcance los números naturales estándar. Por supuesto, como resultado de los Teoremas de Compacidad y de Löwenheim-Skolem, esta teoría formalizada en un lenguaje de primer orden tiene modelos no estándar. Pero, ambos teoremas no resultan significativos para lo que quiero argumentar. Supongamos, además, que el lenguaje tiene medios expresivos suficientes como para hablar de series infinitas ordenadas de oraciones e incorporemos al mismo un presunto predicado de verdad. Mi punto es que ningún predicado monádico que incorporemos al lenguaje expresará legítima verdad, ya que, en primer lugar, su introducción al lenguaje de la aritmética introduce una drástica desviación en la ontología pretendida de la teoría: los numerales de la secuencia de Yablo no pueden ser interpretados por medio de números naturales estándar, y aunque la teoría no resulte inconsistente, sus cuantificadores sólo podrán tener como alcance números naturales no estándar. Esto es, la introducción del presunto predicado veritativo a la aritmética no es ontológicamente conservativa. Y en segundo lugar, el presento predicado veritativo introducido mediante las secuencias de Yablo, no superviene en la ontología de la aritmética. Es decir, las secuencias de Yablo presentan un presunto predicado de verdad cuyas condiciones de aplicación no dependen de los números naturales.
Sean cuales fueren los principios que nos permitan establecer que un predicado monádico expresa el predicado veritativo, considero que los mismos deben asegurar que el mencionado predicado se aplique a ciertas expresiones del lenguaje, asegurando que el resultado ofrezca la extensión correcta del concepto de verdad. Pero, si con Ketland permitimos que los componentes de la secuencia se Yablo sean interpretados utilizando modelos no estándar (modelos cuyos dominios incluyen números no estándar), la interpretación del presunto predicado veritativo, no parece ofrecer una interpretación apropiada de la verdad para ese lenguaje. En todo caso, parece ofrecer una caracterización del concepto de verdad no estándar. Parte de las razones que tenemos para usar el concepto de verdad como uno fundamental en la construcción de una semántica para nuestras teorías, es nuestro deseo de asegurarnos que expresiones de la aritmética como “(todo x) (todo y) (x+y = y+x))” hablen de números naturales. Y si permitiéramos la predicación “T (todo x) (todo y) (x+y = y+x))”, quisiéramos que la misma sea verdadera exactamente cuando la expresión aritmética habla de esos números. Pero, las secuencias de Yablo, unidas a la aritmética, no pueden cumplir con esta intuición. Ellas pueden tener modelo, pero los mismos tienen que contener, además de elementos números no estándar, números no estándar. Por ese motivo, la introducción del presunto predicado veritativo no conserva la ontología estándar y por lo tanto, la expresión es incapaz de expresar legítima verdad.
Del mismo modo, la verdad de “T(todo x) (todo y) (x+y = y+x))” dentro de una teoría que incluya los bicondicionales de Yablo no depende de los números naturales. Dado que la teoría que los incluye no tiene un modelo cuyo dominio sea el de los números naturales, ya que es omega inconsistente, no hay forma de garantizar que la verdad de las oraciones de la teoría superviene en la ontología pretendida de la teoría. Más aún, me parece que la distinción misma entre modelo estándar y no estándar parece suponer que las nociones semánticas, y en particular el predicado veritativo del lenguaje, tienen una interpretación estándar. Por eso, el asegurar que no hay un modelo estándar para la secuencia de Yablo sería suficiente conceptualmente para asegurar que un predicado de verdad que forme parte de los recursos expresivos de un lenguaje de primer orden que permitiera expresar series infinitas ordenadas de oraciones no representa legítima verdad. Desde mi perspectiva, lo que muestra la paradoja de Yablo es que una teoría de primer orden que pretenda expresar su propio predicado de verdad, si es capaz de expresar series infinitas ordenadas de oraciones, no sólo tiene que ser consistente (debe tener modelo), sino que además tiene que ser omega-consistente. Si no lo fuera, la teoría no tendría omega-modelo y en tal caso, la teoría no podría ser interpretada como hablando de los números naturales sino, en cambio acerca de números no estándar. Esto es la omega-inconsistencia de una teoría implica la no estandaridad de sus modelos y en el caso de una teoría que pretenda expresar su propia verdad, la imposibilidad de que tenga modelos estándar impide que la verdad expresada represente nuestra intuición según la cual la verdad de verdad de la secuencia de bicondionales de Yablo tendría que depender de los números neturales estándar.
En síntesis, el que la secuencia de oraciones de Yablo sea omega inconsistente sería suficiente para mostrar un nuevo tipo de incapacidad expresiva, la de representar dentro del lenguaje un predicado veritativo que haga depender la verdad de la ontología estándar. Por eso, la existencia de modelos no estándar, si bien evita la inconsistencia, provoca una nueva limitación expresiva vinculada a la verdad: la de permitir representar adecuadamente el que la secuencia hable del concepto de verdad en ese lenguaje.
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Comentario: 4. Ketland ha propuesto representar la secuencia de oraciones de Yablo como el conjunto de bicondicionales asociados de Yablo de la forma
⎨Yn ↔ Para todo k > n, Yk no es verdadera : n ∈ ω⎬
La unión de ese conjunto con la aritmética de Peano formalizada en primer orden (PA1) da como resultado una teoría que, aunque ω-inconsistente, resulta ser consistente: existe una interpretación que permite asignar condiciones veritativas a todos los elementos del conjunto sin incurrir en contradicción. Tal interpretación recurre a un modelo “extendido” al que pertenecen no sólo números naturales estándar sino también números no estándar. La lista completa de oraciones de Yablo, numerada con los números naturales estándar, adquiere en este modelo, una asignación consistente de valores de verdad. Sin embargo, no ocurre lo mismo, si el modelo se limita a los números naturales estándar. El resultado de Ketland está directamente vinculado a las propiedades metateóricas de los lenguajes de primer orden. Tales lenguajes son compactos y cumplen Löwenheim-Skolem. Por eso, los modelos de la aritmética de Peano formalizada en primer orden no resultan ser categóricos.
Yo he argumentado en "Theories of Truth without Standard Models and Yablo's Sequences” que si el conjunto de los bicondicionales ⎨Yn ↔ Para todo k > n, Yk no es verdadera : n ∈ ω⎬ se una a la aritmética de segundo orden (PA2), la teoría resultante no tiene modelo. Por supuesto, este resultado se apoya en la categoricidad de los modelos de la PA2 . Ahora bien, este resultado no es suficiente para mostrar que el conjunto de bicondicionales unido a PA2 resulta ser inconsistente, en sentido de ser capaz de derivar una contradicción a partir de esa unión. Esto es así, porque una vez que se abondona primer orden las nociones de insatisfacibilidad e inconsistencia no resultan ser extensionalmente equivalentes: es posible que una teoría no tenga modelo y sin embargo no sea posible derivar una contradicción a partir de sus axiomas. ¿Podría la secuencia de bicondicionales de Yablo expresados dentro de la aritmética de segundo orden resultar ser consistente aunque la teoría no tenga modelo?
Axiomáticamente, PA2 es exactamente como PA1, excepto en que es una teoría de segundo orden (monádica) con un axioma impredicativo de comprensión y un axioma capaz de expresar el principio de inducción.
(1) ∃X ∀y (Xx ↔ φ (x))
(2) X0 & ∀x (Xx → Xx’) → ∀xXx
¿Es posible derivar una inconsistencia de PA2 ∪ ⎨Yn ↔ Para todo k > n, Yk no es verdadera : n ∈ ω⎬? Para responder esta pregunta es clave probar que un sistema axiomático que incluya a (2) tiene la misma capacidad deductiva que uno que posea la regla-ω?
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