Así presenta José Luis Ferreira la Paradoja de la Bella Durmiente: “Vamos con la Bella Durmiente. Recordemos que se tiraba una moneda un domingo, antes de dormirse, si salía cara, se despertaba el lunes y se acababa la maldición. Si salía cruz, se despertaba el lunes, se volvía a dormir y luego se despertaba, amnésica, el martes. Así, la Bella Durmiente se despierta una vez tras cara y dos veces tras cruz. Como cara y cruz tienen la misma probabilidad, todos los despertares ocurren con la misma probabilidad. De otra manera, si hubiera 100 Bellas Durmientes, habría 50 despertares en lunes tras cara, 50 en lunes tras cruz y 50 en martes tras cruz. A cada Bella Durmiente se le pregunta por el día en que está tras cada despertar. Así, cada una sabe que tiene el doble de probabilidades de ser despertada tras cruz que tras cara. Las probabilidades que asignará a “cruz” serán 2/3 y a “cara” 1/3. De ahí se sigue que la probabilidad asignada a “lunes” será 2/3 y a “martes” 1/3”. (En http://todoloqueseaverdad.blogspot.com/2009/06/el-dormilon-y-la-bella-durmiente-van-de.html.) Si bien parece correcto pensar que la probabilidad asignada a que sea lunes sea de 2/3, y la probabilidad de que sea martes sea de 1/3, no termino de convencerme de que sea correcto asignar esas mismas probabilidades a que haya salido cara y a que haya salido cruz, tal como defiende Adam Elga en “Self-locating belief and the Sleeping Beauty problem”. Acaso parte de cómo pensemos el asunto descanse en el modo en que se nos presentan los datos.

Por caso, podemos hacer foco en la siguiente cuestión: cada vez que nos despertamos estamos en uno de tres estados. O salió cara, y es lunes [H1], o salió seca, y es lunes [T1], o salió seca, y es martes [T2]. Si sale cara, nos van a despertar una vez –se va a dar H1. Si salió cara, nos van a despertar dos veces –se va a dar tanto T1 como T2. Es decir, si somos una de las Bellas Durmientes despertadas, estamos en alguno de tres estados posibles –H1, T1 y T2. Todos ellos son igualmente probables. ¿Por qué? Porque la probabilidad de T2 es la misma que la de T1 (si se da uno, se da o se dio el otro). La probabilidad de cada uno de ellos, además, es la misma que la probabilidad de que haya salido seca. Ésta, a su vez, es la misma que la probabilidad de que haya salido cara, que es igual a la probabilidad de H1. Por tanto, la probabilidad de que salga cada uno de estos tres estados, una vez que somos despertados, es la misma, es decir, de 1/3. Como la probabilidad de estar despiertos es la misma de que salga cara, la probabilidad de que salga cara es de 1/3. Este enfoque acentúa el hecho de que estamos en uno de tres estados, todos igualmente probables.

Por otra parte, podríamos pensar el asunto haciendo foco en el tiro de la moneda. La probabilidad de que salga cara es la misma de la probabilidad de que salga seca, y en ambos casos es de 1/2. Como la probabilidad de H1 es la misma que la probabilidad de que salga cara, también va a ser de ½. Por otra parte, la probabilidad de T1, dado que salió seca, también es de ½ -si estoy despierto, y sé que salió seca, o estoy en T1 o estoy en T2. Como ambos estados parecen igualmente probables, la probabilidad de T1 dado que salió seca, es de ½. Pero como la propia probabilidad de que haya salido seca es de ½, la probabilidad de estar en T1 es de ¼. Como la probabilidad de T2 es la misma que la de T1, también va a ser de ¼.

Ahora bien, ¿cuál va a ser la probabilidad de que haya salido cara, dado que sé que estoy despierto, y que estoy en uno de tres estados posibles, etcétera? Bien, la respuesta va a depender de si el hecho de que esté despierto afecte o no la probabilidad de que haya salido cara. Digo, la respuesta va a depender de si la pregunta se parece más a la pregunta de (a) cuál va a ser la probabilidad de que salga cara, dado que el dado está cargado y, más o menos, 2/3 de las veces en que fue tirado salió seca, o si se parece más a la pregunta de (b) cuál va a ser la probabilidad de que salga cara, dado que Argentinos Juniors salió campeón del torneo argentino. La respuesta correcta a (a) parece ser: 1/3. La respuesta correcta a (b) parece ser: ½. ¿En qué afecta que Argentinos haya salido campeón a que haya salido cara? Bueno, uno podría pensar: lo afecta tanto como que ahora estoy despierto.

1/3 podría ser la respuesta razonable si supiera que estoy en uno de tres estados equiprobables, y no supiera en cuál estoy. Pero si uno supiera que esos estados no son equiprobables, ¿por qué pensar que 1/3 es la respuesta correcta? Y de hecho no lo son. O bien salió cara o bien salió seca. Si salió cara, la probabilidad de H1 es de 1, y la de T1 y T2, 0. Si salió seca, la probabilidad de H1 es de 0, y la de T1 y T2, 1/2. Y o bien salió cara, o bien salió seca. La probabilidad de H1, dado que salió o saldrá (podrías no saber si ya tiraron la moneda, o todavía no) cara o seca, es de ½. La probabilidad de cada Ti, dado que salió cara o salió seca, es de ¼. Así que, dada toda la información de que dispone la Bella Durmiente, la probabilidad de H1 sigue siendo de 0.5, contra la impresión que la primera presentación podría generar [P (salió cara o salió seca * H1) = ½)].

Y esto es razonable, al menos si uno cree que (i) lo que es razonable creer depende de lo que se sabe, o de lo que se cree plenamente, y que (ii) lo que uno sabe antes y después de ser despertado (dentro de los datos relevantes), es lo mismo. Y esto es así, porque uno sabía, incluso antes de dormirse, cuáles eran todos los datos de los que iba a disponer antes de dormirse. El propio Elga reconoce esto, solo que lo interpreta como un contraejemplo al principio de que lo que es razonable creer depende exclusivamente de lo que se sepa. Ahora bien, si Elga tiene razón, es falso que la probabilidad de que haya caído seca sea ½, y también es falso que lo que se deba creer quede completamente determinado por lo que uno sabe (o algún principio análogo). Ambos son puntos intuitivos a los que Elga cree que debemos renunciar. Ahora bien, si, por el contrario, la probabilidad que debemos atribuir a que salió cara es de 1/3, ¿a qué intuición fuerte debemos renunciar? A lo sumo, a que podemos estar en uno de tres estados, H1, T1 o T2, y que es igualmente probable que estemos en cualquiera de los tres. No estoy seguro de que sea una intuición de que estos tres estados son equiprobables. De cualquier modo, parece ser una intuición de menos peso que las otras dos, no solo juntas, sino también por separado. No creo que esto pruebe que Elga se equivoca, pero sí que la carga de la prueba sigue de su lado.

Por otra parte, una salida no explorada es cortar el vínculo estrecho entre que haya salido cara y que se esté en un estado H1. Acaso esto permita que la probabilidad subjetiva de que haya salido cara deba ser de ½, mientras que la probabilidad subjetiva de que se esté en H1 deba ser de 1/3. Pero para esto, habría de alguna manera que restarle importancia a un dato que cualquier Bella Durmiente tiene: que si la moneda sale cara, está en H1. Y no veo cómo esto pueda hacerse.